Per migliaia di anni gli scienziati si sono rifiutati di trattare con l’infinito per alcuni paradossi che coinvolgono insiemi dotati di elementi illimitati/infiniti.
Un esempio di ciò lo si trova in matematica nei numeri naturali che possono esser emessi in corrispondenza biunivoca con quelli pari, che dovrebbero però essere la loro metà:
1 → 2
2 → 4
3 → 6
…
Si vede facilmente infatti come a qualsiasi numero naturale a sinistra corrisponda un numero pari semplicemente moltiplicandolo per due.
In geometria un esempio analogo lo troviamo nei punti di due circonferenze concentriche che possono essere messi in corrispondenza biunivoca tra loro, nonostante una circonferenza debba essere sicuramente più piccola dell’altra:
Infatti qualsiasi punto della circonferenza esterna cercassimo di unire con il centro, ci troveremmo a identificare un preciso punto della circonferenza interna. Allo stesso modo qualsiasi punto della circonferenza interna cercassimo di unire con il centro porterebbe ad un punto della circonferenza più esterna.
Se l’illimitato, inteso come la capacità di proseguire indefinitamente un’azione, veniva accettato anche dagli scienziati del passato, a non essere tollerato era che una tale azione potesse considerarsi conclusa ovvero che dall’illimitato si potesse passare all’infinito, perché in quel caso si dovevano accettare cose assurde come l’equivalenza tra i pari e quelli naturali o tra i punti di una circonferenza e quelli di una circonferenza che la contiene.
Nel XIX secolo d.c però la situazione cambiò radicalmente a causa di Georg Cantor, il quale uso proprio la corrispondenza biunivoca tra gli elementi di un insieme per introdurre in modo rigoroso la nozione di infinito.
In sostanza un qualsiasi insieme potesse essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme doveva essere considerato infinito. Non importa che ciò ripugnasse l’intelletto, come lamentavano gli scienziati del passato: era il prezzo da pagare per l’infinito, il quale doveva pur avere delle proprietà capaci di lasciarci perplessi, essendo noi esseri finiti.
In verità una tale giustificazione appare risibile, soprattutto se si considera che la scienza è una cosa seria, e ciò che si introduce e si afferma al suo interno deve avere delle giustificazioni logiche e precise, non apparire assurdo. Ma vediamo in modo più preciso perché questa nozione di infinito vada abbandonata.
Per prima cosa va osservato che non sappiamo davvero cosa sia una corrispondenza biunivoca tra un numero illimitato/infinito di elementi, perché non sappiamo fare un numero illimitato/infinito di operazioni. In sostanza la condizione da noi scelta per identificare l’infinito in modo indiretto risulta non essere rappresentazione dalla nostra mente.
Quello che sappiamo è che alcuni insiemi, come quelli visti prima, possono essere messi in corrispondenza biunivoca con un loro sottoinsieme per un numero di elementi a piacere, ma comunque limitati. Dopodiché passiamo da questa condizione rappresentabile ad una non rappresentabile.
Nel farlo tra l’altro ignoriamo delle precise ragioni che avrebbero dovuto consigliare una diversa conclusione. Mi riferisco al fatto che le capacità della nostra stessa mente rinnegano non solo l’infinito in atto come solevano affermare gli scienziati del passato, ma anche l’illimitato.
Se è vero infatti che immaginando una precisa zona di spazio lungo una direzione, possiamo immaginarcene una sempre più il là, non per questo lo spazio che siamo in grado di immaginare potrà essere considerato davvero illimitato, e infatti non lo è, perché nessuno di noi può immaginare una spazio senza limiti.
Detto in termini più espliciti: una cosa è la capacità di una posizione da noi immaginata di averne una successiva, un’altra quello che accade complessivamente a tutte le posizioni coinvolte.
È in un certo senso come avere una coperta stropicciata: la possiamo distendere da una posizione interna scelta a piacere verso la direzione voluta, ma se proseguiamo lungo quella direzione prima o poi esauriremo l’estensione di tale coperta.
Allo stesso modo anche se siamo in grado di estendere a piacere una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di un insieme a quelli di un suo sottoinsieme, questo di per sé non ci dice nulla di definitivo riguardo la loro numerosità complessiva.
Gli attuali scienziati naturalmente sanno di non poter dimostrare il verificarsi di una simile corrispondenza: la prendono solo come punto di partenza per definire l’infinito. Ma ciò non risolve il vero problema, relativo al fatto che la corrispondenza biunivoca tra un numero illimitato di elementi è qualcosa che la nostra mente non riesce a rappresentare.
Il punto è che se una cosa sfugge alla nostra rappresentazione diretta o indiretta, come accade per l’infinito, non possiamo metterla in corrispondenza con altre cose, e vedere se queste la confermano o la contraddicono e quindi non può avere posto nell’ambito di una scienza deduttiva come la matematica o la geometria.
Per comprendere meglio questo concetto dobbiamo considerare la seguente situazione ipotetica.
Supponiamo di voler verificare se abbiamo di fronte a noi un tavolo quando in realtà ad esserci di fronte è un cane. A permetterci di capire che non abbiamo di fronte un tavolo bensì un cane è il fatto di possedere una rappresentazione dell’uno e dell’altro, e quindi poterle confrontare tra loro.
L’infinito nelle scienze esatte è in quest’ottica come aver introdotto un fantasma invisibile, inudibile, intangibile … e averlo associato arbitrariamente ad ogni castello abbandonato. Ma anche se entrando in uno di questi castelli ci accordiamo per ritenerli infestati, non avremo comunque alcuna conferma o smentita della presenza di fantasmi, e ci ritroveremo a parlare di un mondo che ci è precluso e con il quale non potremo mai avere interazioni.
In sostanza tutte le parti della matematica e della geometria che impiegano la nozione di infinito sono delle costruzioni teoriche che si è voluto inserire arbitrariamente al loro interno, ma che rimangono del tutto estranee e prive di utilità rispetto alle altre parti.
Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli siano caduti in questo grande e grave abbaglio, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.
Per vedere come è possibile superare questo problema nell’ambito della matematica e della geometria si può fare riferimento rispettivamente ai miei seguenti libri:
La quantità dell’esistenza
Le forme dell’esistenza