L’infinito nelle scienza esatte

Per migliaia di anni gli scienziati si sono rifiutati di trattare l’infinito per la presenza di alcuni paradossi che non erano in grado di giustificare.

Un esempio di ciò lo si trova in matematica per quanto riguarda la proprietà dei numeri naturali di poter esser emessi in corrispondenza biunivoca con i numeri pari, nonostante questi dovrebbero limitarsi alla loro metà:

1 ↔ 2
2 ↔ 4
3 ↔ 6

Si vede facilmente infatti come a qualsiasi numero naturale a sinistra corrisponda un numero pari semplicemente moltiplicandolo per due. Allo stesso modo preso un numero pari a destra è possibile identificare il numero naturale a sinistra con l’operazione inversa, ossia dividendolo per due.

Un esempio analogo lo troviamo nella geometria per quanto riguarda i punti di due circonferenze concentriche, che possono essere messi in corrispondenza biunivoca tra loro nonostante una circonferenza debba essere necessariamente più piccola dell’altra:

circonferenze

Come si nota dalla figura, per unire qualsiasi punto della circonferenza esterna con il centro, dobbiamo inevitabilmente passare per un preciso punto della circonferenza interna. Allo stesso modo se cercassimo di unire il centro con un qualsiasi punto di quest’ultima circonferenza, prolungando la retta da noi adoperata finiremmo per giungere anche ad un punto della circonferenza più esterna.

Gli esempi visti risultano problematici nel momento in cui si presume di poter protrarre in modo illimitato un’azione di corrispondenza che sancirebbe una pari numerosità tra numeri e punti che invece non dovrebbe sussistere.

Purtroppo, al posto di interrogarsi sulla liceità di impiegare una nozione non direttamente esperibile quale quella dell’illimitato, gli scienziati del passato si limitarono a mettere in discussione prima e a bandire poi la sola nozione di infinito, intesa come la possibilità di considerare conclusa una qualsivoglia azione illimitata.

Una simile conclusione infatti era tutto quello che serviva per impedire ai due precedenti paradossi di considerare esistente e quindi in atto una pari numerosità tra numeri e punti che si opponeva al buon senso.

Nel XIX secolo d.c però la situazione cambiò radicalmente a causa di Georg Cantor, il quale usò la corrispondenza biunivoca tra gli elementi di un insieme per introdurre in modo rigoroso la nozione di infinito. In sintesi, secondo questo scienziato, se è possibile instaurare una corrispondenza biunivoca tra un numero illimitato di elementi di un insieme con quelli di un suo sottoinsieme, allora l’insieme di partenza dovrà essere considerato infinito. Non importava che ciò ripugnasse l’intelletto, come lamentavano gli scienziati del passato: era il prezzo da pagare per l’infinito, il quale doveva pur avere delle proprietà capaci di lasciarci perplessi, essendo noi esseri finiti.

In verità una tale giustificazione appare risibile, soprattutto se si considera che la scienza è una cosa seria e ciò che si introduce e si afferma al suo interno deve avere delle giustificazioni logiche e precise, non apparire assurdo. Ma vediamo in modo più preciso perché questa nozione di infinito debba essere abbandonata.

Per prima cosa va osservato come noi non siamo realmente in grado di concepire una corrispondenza biunivoca tra un numero illimitato di elementi. Detto in termini più espliciti: la condizione scelta da Cantor per identificare la presenza dell’infinito non è affatto rappresentabile dalla nostra mente.

Quello che sappiamo infatti è che alcuni insiemi ad esempio quello dei numeri naturali, possono essere messi in corrispondenza biunivoca con un loro sottoinsieme, in questo caso i numeri pari, per un certo numero di elementi che possiamo scegliere a piacere, ma che risulta comunque limitata. Questa è la sola situazione che siamo in grado di esperire, non altre.

Ne consegue che passare da una condizione che ci appartiene, quale il limitato, e appropriarci di una condizione che non ci appartiene, quale l’illimitato, per definire chissacché va considerata un’azione totalmente illegittima, arbitraria e ingiustificabile.

Poiché Cantor sapeva di non poter dimostrare questo passaggio si è limitato a prenderlo come punto di partenza, considerandolo cioè vero per convenzione. Ma ciò non risolve il vero problema, relativo al fatto che detta corrispondenza biunivoca è qualcosa che la nostra mente non può in alcun modo rappresentare.

Il punto è che se una cosa sfugge alla rappresentazione diretta o indiretta della nostra mente, come accade per l’infinito, non potrà essere relazionata ad alcun altra cosa. In particolare non potremo sapere se sia confermata o entri in contraddizione con altre nozioni, e quindi non potrà avere posto nell’ambito di una scienza che si affida all’analisi deduttiva come la matematica o la geometria. Ma per comprendere meglio questo concetto dobbiamo considerare la seguente situazione ipotetica.

Supponiamo di voler verificare la presenza di un tavolo di fronte a noi, quando invece ad essere presente è un cane. A permetterci di capire che non abbiamo di fronte a noi un tavolo bensì un cane è il fatto ben concreto di possedere una rappresentazione sia dell’uno che dell’altro, e quindi di poterle confrontare tra loro.

Viceversa se il nostro scopo fosse stato quello di verificare la presenza di un fantasma, definito come qualcosa di invisibile, inaudibile, intangibile e via discorrendo, ecco che ci saremmo trovati nell’impossibilità di portare a termine il nostro compito. La ragione è presto detta e dipende dal fatto che privati di ogni possibilità di rappresentarlo, non avremmo potuto escludere la sua presenza in concomitanza con quella del suddetto cane.

In buona sostanza l’introduzione dell’infinito nelle scienze esatte è un’azione che possiamo equiparare a quella di aver inserito al loro interno un vero e proprio fantasma. Ne consegue che tutte le parti della matematica e della geometria che impiegano detta nozione non potranno mai essere né confermate né smentite dalle altre parti di queste discipline, ma proprio per questo motivo andranno considerate alla stregua di costruzioni teoriche del tutto prive di utilità.

Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli non abbiamo saputo affrontare nella maniera adeguata questa problematica, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.

Per vedere come sia possibile superare questo problema nell’ambito della matematica e della geometria si può fare riferimento rispettivamente ai miei seguenti libri: “La quantità dell’esistenza” e “Le forme dell’esistenza”.

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