La lunghezza della circonferenza in geometria

Se abbiamo a nostra disposizione un righello e vogliamo misurare la lunghezza di una linea retta possiamo procedere senza particolari problemi. La ragione è presto detta e dipende dal fatto che entrambi questi oggetti possiedono una forma rettilinea, e questo ci consente di sovrapporli e confrontarli tra loro.

Se invece di misurare la lunghezza di una linea retta avessimo dovuto misurare quella di una circonferenza, la questione si sarebbe complicata non poco, visto che nessun righello può essere sovrapposto ai vari tratti curvilinei che connotano questi particolari oggetti geometrici.

Di fronte ad una considerazione di questo tipo diviene lecito chiedersi se sia davvero possibile e abbia un qualche senso misurare la lunghezza di oggetti non rettilinei. Fortunatamente la risposta è affermativa, e ciò vale anche per la circonferenza, la cui lunghezza può essere realmente misurata, seppur in modo indiretto e sfruttando alcune caratteristiche dei poligoni che si possono inscrivere e circoscrivere ad essa.

Una di queste caratteristiche che riguarda i poligoni iscritti è quella che permette al loro perimetro (costituito da un insieme di lati in linea retta e quindi facilmente misurabili) di avvicinarsi a piacere alla circonferenza che li contiene, a patto di aumentare il numero dei loro lati.

Possiamo osservare qui di seguito una rappresentazione grafica di questa proprietà:

poligoni_inscritti

La seconda delle suddette caratteristiche che riguarda questa volta i poligoni circoscritti è quella che permette al loro perimetro di avvicinarsi a piacere alla circonferenza che contengono, a patto di aumentare anche in questo caso il numero dei lati di cui sono costituiti.

Possiamo osservare qui di seguito una rappresentazione grafica di questa proprietà:

poligoni_circoscritti

Queste caratteristiche permettono ai perimetri delle due diverse classi di poligoni considerate di differire tra loro di un valore piccolo a piacere, sempre a patto di aumentare a sufficienza il numero dei loro lati. E poiché ciò può essere fatto mantenendo la distinzione tra poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza data, questi verranno a costituire due classi di grandezza contigue.

La proprietà fondamentale che viene considerata vera per convenzione nel caso di due classi di grandezza contigue è quella di avere uno e uno solo elemento di separazione, ovvero si assume che potendo essere vicine a piacere possa esserci un solo elemento che sia più grande di tutti quelli dell’una e più piccolo di tutti quelli dell’altra.

Nel caso specifico un tale assunto ci permette di considerare come elemento di separazione delle due classi di perimetri considerati proprio la circonferenza data.

Poiché in tutti i cerchi la circonferenza è proporzionale al diametro di un valore non conosciuto, ma costante e indicato con il simbolo π, attraverso il calcolo dei perimetri di poligoni aventi un numero sempre maggiore di lati, diviene possibile individuare un’approssimazione sempre più precisa di tale costante, pari circa a 3.14

Sebbene il procedimento qui seguito per calcolare la lunghezza della circonferenza si basi su una convenzione, ciò di per sé non offre il fianco ad alcuna vera controindicazione. Va ricordato infatti che nella geometria classica sono tante le proprietà assunte vere per convenzione (i cosiddetti assiomi).

Il problema in cui ci imbattiamo è dunque di altra natura: il fatto cioè che la convenzione da noi impiegata non risulti affatto rappresentabile dalla nostra mente, mentre le altre assunte all’interno della geometria lo sono tutte.

Prendiamo come esempio la convenzione secondo la quale tra due punti qualsiasi dello spazio passi una e una sola linea retta. È evidente che ci troviamo di fronte a qualcosa che la nostra mente è in grado di rappresentare, e questo ci consente di stabilire quali altre proprietà geometriche la confermino (nel senso di mantenersi ad essa coerenti) o la contraddicano.

Viceversa la nostra mente non è in grado neppure di concepire cosa sia l’illimitato avvicinarsi delle due classi di poligoni precedentemente considerate all’aumentare indefinito dei loro lati, e questo ci impedisce di stabilire se una qualunque altra proprietà geometria la confermi oppure la smentisca.

Ne consegue che il procedimento da noi utilizzato per misurare la lunghezza della circonferenza verrà a costituire un corpo del tutto estraneo alla geometria, e non potrà fornire alcun utile contributo allo sviluppo deduttivo di questa disciplina.

Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli non abbiamo saputo affrontare nella maniera adeguata questa problematica, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.

Per vedere come sia possibile arrivare in modo deduttivo e corretto alla lunghezza di una circonferenza, si può fare riferimento al mio libro: “Le forme dell’esistenza”.

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