Se abbiamo un righello e vogliamo misurare la lunghezza di una linea retta non abbiamo alcun problema essendo anch’esso retto e quindi ad essa sovrapponibile. Possiamo quindi fare dei confronti dai quali produrre un numero.
Se invece dobbiamo misurare la circonferenza di un cerchio la questione si complica, perché un righello non riesce a sovrapporsi ai vari tratti curvi che costituiscono detta circonferenza.
Quello che si deve sapere a questo riguardo è che il calcolo della circonferenza viene realizzato in modo indiretto, sfruttando alcune caratteristiche dei poligoni che le si possono inscrivere e circoscrivere.
Come vediamo all’aumentare dei lati dei poligoni inscritti, il loro perimetro (costituito da lati in linea retta e quindi misurabili facilmente) viene ad avvicinarsi a piacere a quello della circonferenza:
Lo stesso accade anche all’aumentare dei lati dei poligoni circoscritti, in quanto anche in questo caso il loro perimetro (costituito da lati in linea retta e quindi misurabili facilmente) viene ad avvicinarsi a piacere a quello della circonferenza:
Queste caratteristiche permettono ai perimetri delle due diverse classi di poligoni considerate di differire tra loro di un valore piccolo a piacere, a patto di aumentare sufficientemente il numero dei loro lati. E poiché ciò può essere fatto mantenendo la distinzione tra poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza data, vengono a costituire due classi di grandezza contigue.
La proprietà fondamentale che viene assegnata per convenzione a due classi di grandezza contigue è quella di avere uno e uno solo elemento di separazione, ovvero si assume che potendo essere vicine a piacere possa esserci un solo elemento che sia più grande di tutti quelli dell’una e più piccolo di tutti quelli dell’altra.
Nel caso specifico un tale assunto ci permette di considerare come elemento di separazione delle due classi di perimetri considerati proprio la circonferenza data.
Poiché in tutti i cerchi la circonferenza è proporzionale al diametro di un valore non conosciuto ma costante π, attraverso il calcolo dei perimetri di poligoni aventi un numero sempre maggiore di lati, diviene possibile individuare un’approssimazione sempre più precisa di tale costante, pari circa a 3.14
Sebbene il procedimento così seguito nell’ambito delle scienze esatte per calcolare la lunghezza della circonferenza su basi su una convenzione, non si tratta di un vero problema. Nella geometria classica infatti vi sono tante altre conoscenze assunte vere per convenzione, come per esempio che tra due punti qualsiasi dello spazio passi una e una sola linea retta.
Il problema come detto non è l’impiego in sé di una convenzione, ma il fatto che essa non sia rappresentabile. Infatti se il passaggio di una linea retta tra due punti dello spazio è rappresentabile dalla nostra mente, non può certamente dirsi la stessa cosa del perché i poligoni circoscritti e inscritti ad un cerchio all’aumentare indefinito dei loro lati dovrebbero effettivamente fermarsi alla sua circonferenza.
Così anche se il passaggio di una e una sola linea retta tra due punti dello spazio è considerato vero in partenza, essendo una convenzione rappresentabile si aprirà comunque alla nostra capacità di confermarla e contraddirla. Dati due punti dello spazio saremo cioè in grado di accorgerci (benché non in termini formali) se a unirli sia proprio una e una sola linea retta.
In mancanza di una rappresentazione non possiamo fare lo stesso per la convenzione che le scienze esatte assegnano alla circonferenza, la quale verrà a costituire un corpo estraneo al loro interno, nel preciso senso che sottraendosi dalla possibilità di essere confermata o contraddetta non fornirà alcun utile contributo allo sviluppo deduttivo della geometria e della matematica.
Una simile determinazione della circonferenza è in ultima analisi una proprietà che sarebbe dovuta essere esclusa dall’ambito delle discipline deduttive.
Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli siano caduti in questo grande e grave abbaglio, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.
Per vedere come è possibile arrivare in modo deduttivo e corretto alla lunghezza di una circonferenza si può fare riferimento al mio libro: Le forme dell’esistenza