Per comprendere il principio su cui si basano i sistemi assiomatici formali su ci si basano le scienze esatte, quali la matematica e la geometria, è utile fare riferimento al seguente indovinello che elenca delle proprietà, chiedendo quale oggetto le possieda tutte:
Chi la fa la fa per vendere, chi la vende non gli serve, chi la compra non la usa, chi la usa non la vede.
L’oggetto in questione è la “bara”. Per riferirci ad esso e alle sue proprietà usiamo i simboli dell’alfabeto.
Per quello che ne sappiamo potrebbero esistere altri oggetti con dette proprietà, ma per individuarli bisognerebbe prendere in considerazione tutti gli oggetti esistenti e vedere quali altri le soddisfano tutte.
Nel caso dei sistemi assiomatici formali si procede allo stesso modo, ovvero sempre a propria discrezione si introducono dei simboli e li si usa per esprimere delle proprietà di partenza (che nel linguaggio di tali sistemi sono detti assiomi), e delle regole che serviranno a produrre nuove proprietà a partire da quelle iniziali.
In pratica una volta introdotti dei simboli li impiegheremo per costruire un numero sempre maggiore di proprietà a partire da alcune iniziali, e senza fare alcun riferimento al mondo concreto. Quello che otteniamo in questo modo sono solo degli insiemi di simboli che rimarranno privi di utilità finché non associamo loro un significato, ovvero fino a quando non troveremo un’interpretazione che ci permetterà di associarli a oggetti e relazioni di un certo ambito di realtà.
Partiamo ad esempio dai simboli del nostro alfabeto e dal seguente assioma, ovvero dalla seguente proprietà iniziale:
chi la fa la fa per vendere
Per rendere utile questa proprietà, che presa a sé stante è solo un insieme di simboli, dobbiamo interpretarla come un’espressione del nostro linguaggio e usare il suo significato per individuare un oggetto della realtà che la possieda.
Ovviamente tanti oggetti possono soddisfare la proprietà in esame, ad esempio una bara, una culla e un’automobile che sono oggetti che solitamente vengono costruiti per la vendita.
Supponiamo che le regole che ci siamo dati permettano di passare dal precedente assioma alla seguente proprietà:
chi la vende non gli serve
Impiegando sempre la stessa interpretazione ci accorgiamo di poter scartare l’automobile, in quanto chi vende un’automobile potrebbe comunque essere nella situazione di averne bisogno per sé. Ciò non accade invece per una bara o una culla.
L’oggetto culla resiste anche le nostre regole ci permettessero di aggiungere la seguente terza proprietà:
chi la compra non la usa
dal momento che chi compra la culla non è un neonato e sono i neonati quelli che la usano.
Qualora fossimo in grado di aggiungere anche la seguente ultima proprietà:
chi la usa non la vede
rimarrebbe a nostra disposizione solo la bara, perché il neonato in genere ha il senso della vista funzionante ed è in grado di vedere la culla, cosa che non si può certo dire di chi è morto e si trova dentro una bara.
Nel caso dei sistemi assiomatici formali si procede allo stesso modo, ovvero attraverso l’introduzione di taluni simboli, assiomi e regole, messi a punto senza alcun riferimento al mondo concreto, si cerca un’interpretazione che permetta di individuare degli oggetti e delle relazioni di un certo ambito della realtà che ne siano correttamente descritti.
Prendiamo il caso del seguente assioma:
Due punti distinti nello spazio individuano una retta.
L’utilità di questo assioma si manifesta nel momento in cui gli daremo un’interpretazione e individueremo gli oggetti a cui si riferisce. E poiché chiama in causa punti e retta, saranno due gli oggetti che dovremo individuare.
Naturalmente tale proprietà sarà soddisfatta dai punti e dalle rette della geometria, i quali soddisferanno anche la seguente proprietà (che possiamo immaginare come aggiungere alla prima come assioma o individuare una regola che permetta di introdurla a partire da essa):
Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta.
Possiamo chiederci se tutte le proprietà sviluppabili all’interno di un sistema assiomatico formale possono essere usate, una volta interpretate, per descrivere tutte le forme geometriche e le loro relazioni reciproche. In caso positivo diremo che il sistema assiomatico in questione è completo nella descrizione della geometria.
Si nota immediatamente come la completezza di un sistema assiomatico formale non dipenda solamente dai simboli, dagli assiomi e dalle regole che lo definiscono, ma anche dal tipo di realtà indagata. Infatti stessi simboli, assiomi e regole potrebbero dare una descrizione completa qualora fossero interpretati per descrivere ad esempio la geometria, e una descrizione incompleta quando fossero interpretati per descrivere le dinamiche demografiche della popolazione umana.
In sostanza l’unico modo per stabilire se un dato sistema assiomatico formale sia completo nel descrivere un certo ambito di realtà sarà quello di esprimere tutte le sue proprietà e vedere se esauriscono gli oggetti e le relazioni che costituiscono tale ambito.
È altresì importante chiedersi se le proprietà costruibili all’interno di un sistema formale attraverso gli assiomi e le regole che ci siamo dati, siano in grado di mantenersi compatibili tra loro, perché in caso contrario (costituito dal presentarsi di due proprietà opposte) non potranno essere associate ad alcun ambito di realtà, essendo quest’ultima sicuramente coerente in sé stessa.
In sostanza nessuna interpretazione permetterà mai a due proprietà opposte di un sistema assiomatico formale di descrivere le relazioni che si instaurano tra gli oggetti appartenenti ad un qualunque ambito di realtà. Infatti gli oggetti del mondo concreto o sono descritti da una relazione o da quella opposta.
Un sistema assiomatico formale dotato della suddetta proprietà si dice coerente.
Si nota immediatamente come la coerenza di un sistema assiomatico formale dipenda dagli assiomi e dalle regole che lo costituisco, e poiché le une e le altre sono scelte senza alcun vincolo reciproco, non sarà possibile escludere lo svilupparsi di una qualche incompatibilità.
In sostanza l’unico modo per stabilire se un dato sistema assiomatico formale sia coerente in sé stesso sarà quello di esprimere tutte le sue proprietà e vedere se siano effettivamente tutte compatibili tra loro.
Altro aspetto interessante è quello di capire se una qualsiasi proprietà costruita direttamente con i simboli di un dato sistema assiomatico formale appartenga a tale sistema, in quanto costruibile al suo interno e quindi vera, o in quanto costruibile la proprietà opposta e quindi falsa.
Un sistema assiomatico formale che consenta sempre una tale verifica si dice decidibile.
Si nota immediatamente come la decidibilità di un sistema assiomatico formale richieda un collegamento diretto tra la nostra capacità di costruire delle proprietà componendo liberamente i simboli a nostra disposizione e la capacità degli assiomi e delle regole scelte di poter replicare tali composizioni (o le loro opposte), ma poiché tali aspetti non sono direttamente legati tra loro, non sarà possibile stabilire a priori se una qualsiasi proposizione esprimibile all’interno di un sistema appartenga allo stesso oppure no.
In sostanza l’unico modo per stabilire se un dato sistema assiomatico formale sia decidibile è quello di esprimere tutte le sue proprietà e averle confrontate con tutte quelle esprimibili attraverso i suoi simboli.
Possiamo quindi concludere che i sistemi assiomatici formali a non garantiscono il soddisfacimento di proprietà importanti come completezza, coerenza e decidibilità, né permettono di conoscerle a priori, e in questo senso non dovrebbero essere considerati inadatti a costituire un modello di riferimento per le scienza esatte.
Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli siano caduti in questo grande e grave abbaglio, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.
Per vedere come è possibile definire scienze esatte che siano complete, coerenti e decidibili si può fare riferimento al mio libro: I paradigmi della mente