I sistemi assiomatici formali

Per comprendere i principi su cui si basano i sistemi assiomatici formali, che sono attualmente alla base delle scienze esatte quali la matematica e la geometria, è utile fare riferimento al seguente indovinello:

Chi la fa la fa per vendere, chi la vende non gli serve, chi la compra non la usa, chi la usa non la vede.

Le proprietà a cui fa riferimento l’indovinello testé mostrato sono espresse attraverso dei simboli convenzionali (l’alfabeto del nostro linguaggio), che presi di per sé sono privi di significato. Se vogliamo dare loro un significato dobbiamo associarli al mondo concreto, e cercare l’oggetto che le possiede tutte. Tale oggetto è la bara.

Per quello che ne sappiamo potrebbero esistere altri oggetti con quelle stesse proprietà, ma per riuscire ad individuarli dovremmo prendere in considerazione tutti gli oggetti esistenti e vedere uno per uno quali altri siano in grado di soddisfarle tutte.

Nel caso dei sistemi assiomatici formali si procede allo stesso modo, ovvero sempre a propria discrezione si introducono dei simboli e li si usa all’interno di specifiche proposizioni (che nel linguaggio di tali sistemi sono detti assiomi) per esprimere delle proprietà di partenza, e delle regole che serviranno a produrre nuove proprietà a partire da quelle già note, e senza fare alcun riferimento al mondo concreto.

Quello che otteniamo in questo modo sono solo degli insiemi di simboli che, come quelli del citato indovinello, rimarranno privi di utilità finché non assoceremo loro un significato, ovvero fino a quando non troveremo un’interpretazione che ci permetterà di associarli a oggetti e proprietà di un certo ambito di realtà.

Partiamo ad esempio dai simboli del nostro alfabeto e dal seguente assioma, che costituirà la nostra proposizione iniziale:

chi la fa la fa per vendere

Per rendere utile questa proposizione, che presa a sé stante è solo un insieme di simboli, dobbiamo interpretarla come un’espressione del nostro linguaggio e usare il suo significato per individuare un oggetto della realtà che la soddisfi.

Ovviamente sono tanti gli oggetti del mondo concreto in grado di soddisfare la proposizione in esame, ad esempio una bara, una culla e un’automobile, in quanto tutti loro sono costruiti per essere venduti.

Supponiamo che le regole che ci siamo dati permettano di passare dal precedente assioma alla seguente proposizione:

chi la vende non gli serve

Impiegando sempre la stessa interpretazione ci accorgiamo di poter scartare l’automobile, in quanto chi vende un’automobile potrebbe comunque essere nella situazione di averne bisogno per sé stesso. Ciò non accade invece per una bara o una culla.

Per quanto riguarda l’oggetto culla, resisterà anche qualora le nostre regole ci permettessero di aggiungere la seguente terza proposizione:

chi la compra non la usa

dal momento che chi compra la culla non può essere un neonato e sono i neonati quelli che la usano.
Qualora fossimo in grado di aggiungere anche la seguente ultima proposizione, sempre attraverso le nostre regole:

chi la usa non la vede

rimarrebbe a nostra disposizione solo la bara, perché il neonato in genere ha il senso della vista funzionante ed è in grado di vedere la culla, cosa che non si può certo dire di chi è morto e si trova dentro una bara.

Vediamo come si procede con un esempio reale di sistema assiomatico formale. Prendiamo quindi il seguente assioma:

Due punti individuano una e una sola linea retta (che passa per essi).

L’utilità di questo assioma si manifesta nel momento in cui gli daremo un’interpretazione e individueremo gli oggetti a cui si riferisce. E poiché chiama in causa i simboli “punti” e “retta”, saranno due gli oggetti che dovremo individuare.

Naturalmente tale proposizione sarà soddisfatta dai punti e dalle rette della geometria, i quali soddisferanno anche la seguente proposizione (che possiamo aggiungere alla prima come assioma o dopo aver individuato una regola che permetta di introdurla a partire da essa):

Una linea retta e un punto ad essa esterno individuano una sola linea retta parallela (che passa per esso).

Le regole che permettono ai sistemi assiomatici formali di sviluppare nuove proposizione a partire da quelle già in nostro possesso essere completamente inventate da noi, anche se in genere hanno al loro interno conterranno anche quelle del processo deduttivo.

Siamo in grado a questo punto di definire come vere tutte quelle proposizioni che potranno essere costruite all’interno del sistema assiomatico formale impiegando le regole da noi introdotte e false tutte le altre. Vale quindi il principio di bivalenza, secondo il quale una qualunque proposizione potrà risultare o vera o falsa.

Una volta compreso cosa sia un sistema assiomatico formale, è importante chiederci se possa essere considerato completo, ovvero se l’insieme delle proposizione sviluppabili al suo interno sono in grado di descrivere tutte quelle dell’ambito di realtà indagato.

Si nota immediatamente come la completezza di un sistema assiomatico formale non dipenda solamente dai simboli, dagli assiomi e dalle regole che lo definiscono, ma anche dal tipo di realtà indagata. Infatti stessi simboli, assiomi e regole potrebbero dare una descrizione completa qualora fossero interpretati per descrivere ad esempio la geometria, e una descrizione incompleta quando fossero interpretati per descrivere le dinamiche demografiche della popolazione umana.

In sostanza l’unico modo per stabilire se un dato sistema assiomatico formale sia completo nel descrivere un certo ambito di realtà sarà quello di esprimere tutte le sue proposizioni e vedere se esauriscono gli oggetti e le proprietà che costituiscono tale ambito.

È altresì importante chiederci se un sistema assiomatico formale possa essere considerato coerente, ovvero se possano essere considerate compatibili l’insieme delle proposizione che possono essere costruite al suo interno.

Si nota immediatamente come la coerenza di un sistema assiomatico formale dipenda dagli assiomi e dalle regole che lo costituisco, e poiché le une e le altre sono scelte senza alcun vincolo reciproco, non sarà possibile escludere lo svilupparsi di una qualche incompatibilità. In sostanza l’unico modo per stabilire se un dato sistema assiomatico formale sia coerente in sé stesso sarà quello di esprimere tutte le sue proposizioni e vedere se siano effettivamente tutte compatibili tra loro.

Altro aspetto importante è quello di capire se un sistema assiomatico formale sia decidibile, ovvero se si possa determinare la verità o della falsità di una qualsiasi proposizione esprimibile attraverso i suoi simboli.

Si nota immediatamente come la decidibilità di un sistema assiomatico formale richieda un collegamento diretto tra la nostra capacità di costruire delle proposizioni componendo liberamente i simboli a nostra disposizione e la capacità degli assiomi e delle regole scelte di poter replicare tali composizioni (o le loro opposte). Ma poiché tali aspetti non sono direttamente legati tra loro, non sarà possibile stabilire a priori se una qualsiasi proposizione esprimibile all’interno di un sistema appartenga allo stesso oppure no.

In sostanza l’unico modo per stabilire se un dato sistema assiomatico formale sia decidibile è quello di esprimere tutte le sue proposizioni e confrontarle con tutte quelle esprimibili attraverso i suoi simboli.
Possiamo quindi concludere che i sistemi assiomatici formali non garantiscono il soddisfacimento di proprietà importanti come la completezza, la coerenza e la decidibilità, né permettono di conoscerle a priori, e in questo senso dovrebbero essere considerati inadatti a costituire un modello di riferimento per le scienza esatte.

Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli non abbiamo saputo affrontare nella maniera adeguata questa problematica, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.

Per vedere come sia possibile definire scienze esatte che siano complete, coerenti e decidibili, si può fare riferimento al mio libro: “I paradigmi della mente”.

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