Per comprendere appieno questo articolo occorre fare riferimento alla mia introduzione dei sistemi assiomatici formali e delle loro proprietà di completezza, coerenza e decidibilità presenti al seguente indirizzo:
Quello che attualmente viene dato per acquisito riguardo i sistemi assiomatici formali è in gran parte dovuto ai teoremi di Godel che verremo qui ad analizzare in modo molto sommario, ma sufficiente a comprendere perché debbano essere ritenuti sbagliati.
Per comprendere bene il procedimento di Godel, occorre osservare come ogni regola per costruire proprietà all’interno di un sistema assiomatico formale, finisca per rendere i simboli delle proprietà già acquisite più lunghi, più corti o finisca per modificarli in qualche altro modo.
Se tutti i simboli di un sistema assiomatico formale fossero pertanto dei numeri, queste stesse costruzioni potrebbero essere ottenute da operazioni matematiche, come moltiplicazioni o divisioni per dieci di numeri a loro volta multipli di dieci e via discorrendo.
In sostanza qualsiasi sistema assiomatico formale può essere espresso all’interno dell’aritmetica, a patto di sostituire i suoi simboli con dei numeri e le regole con operazioni matematiche loro equivalenti.
Quello che si ottiene con questa trasformazione, detta godellizzazione, è un’aritmetica capace di produrre solo alcuni specifici numeri (e non tutti quelli possibili applicando la totalità delle regole dell’aritmetica): proprio quelli ai quali corrispondono le proprietà costruibili all’interno del sistema formale originario.
Questo ci consente di capire come mai i teoremi che Godel ha dimostrato nell’ambito del sistema assiomatico formale capace di descrivere l’aritmetica, possano estendersi a tutti gli altri sistemi assiomatici formali purché sufficientemente potenti, ovvero tali che una volta godellizzati siano capaci di esprimere un’aritmetica equivalente a quella impiegata da Godel stesso.
Il primo teorema di incompletezza di Godel conclude che i sistemi assiomatici formali (sufficientemente potenti) siano incompleti. Si tratta però di una conclusione che sappiamo essere illecita, in quanto data a prescindere dall’ambito di realtà a cui tali sistemi assiomatici formali potrebbero essere associati.
Detto in altre parole: poiché i simboli, gli assiomi e le regole con cui si sviluppa un sistema assiomatico formale non hanno alcun legame con l’ambito di realtà che può essere loro assegnato mediante una data interpretazione, è letteralmente impossibile sapere in anticipo se possano o meno essere completi nel descriverla.
In pratica una proprietà quale la completezza che può essere desunta solo da un riscontro empirico, confrontando le proprietà espresse da un sistema formale con gli oggetti e le relazioni di un dato ambito della realtà, non può essere stabilità da un’analisi che si effettua a prescindere da tale confronto.
Il secondo teorema di incompletezza di Godel conclude che la coerenza dei sistemi assiomatici formali (sufficientemente potenti) non si possa desumere dal loro interno. Si tratta in un certo senso di una conferma di ciò che già sapevamo dal momento che gli assiomi e le regole che costituiscono i sistemi assiomatici formali sono scelti senza dover rispettare tra loro alcun vincolo che possa garantire la coerenza, la quale può quindi essere desunta solo a posteriori.
Anche se questa analisi di Godel ha confermato quello che già sapevamo dei sistemi assiomatici formali, va comunque ritenuta scorretta, in quanto si appoggia alla conclusione del primo teorema, mutuandone gli errori.
Infine con il suo teorema di incedibilità Godel afferma che i sistemi assiomatici formali (sufficientemente potenti) siano indecidibili. Si tratta però di una conclusione che sappiamo essere illecita, in quanto gli assiomi e le regole che li costituiscono sono scelti senza aver un collegamento diretto con la nostra capacità di costruire delle proprietà componendo liberamente i simboli a nostra disposizione.
In pratica la decidibilità di un sistema assiomatico formale non può essere desunta dal suo interno ma solo a posteriori, esprimendo tutte le sue proprietà e confrontandole con tutte quelle esprimibili attraverso i suoi simboli.
È interessante osservare come l’indecidibilità desunta da Godel si basa sull’individuazione di una proprietà e della sua opposta che pur essendo l’una vera e l’altra falsa non possono essere costruite all’interno dei sistemi assiomatici formali.
Siamo chiaramente di fronte a un controsenso perché una proprietà risulta vera o falsa solo quando essa o la sua opposta sono costruibili all’interno del sistema assiomatico formale al quale appartengono. Non ha quindi alcun senso parlare di verità o di falsità per proprietà che non possono essere costruite all’interno di detto sistema.
Non solo questa assurdità non è stata colta, ma è stata impiegata attivamente per desumere che mai nessun sistema assiomatico formale potrà mai identificare tutte le proprietà vere di un qualsiasi ambito di realtà indagato.
Infatti anche qualora la proprietà identificata da Godel come indecidibile venisse aggiunta agli assiomi (e quindi fatta diventare parte del sistema formale assiomatico considerato), darà luogo ad un nuovo sistema assiomatico formale (distinto dall’originario per la presenza di tale assioma) nel quale sarà ancora possibile trovare una proprietà analoga che pur essendo vera o falsa risulterà ancora non costruibile.
Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli siano caduti in questi grandi e gravi abbagli, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.
Per conoscere gli errori specifici commessi da Godel all’interno dei suoi teoremi si può fare riferimento al mio libro: I paradigmi della mente