I teoremi di Godel

La geometria può essere definita come quel sistema assiomatico formale che si sviluppa applicando le regole della deduzione a partire da proposizioni (assiomi) del seguente tipo:

Due punti definiti nello spazio individuano una retta.
Ogni coppia di punti di una retta, individuano tale retta.

Quello che deve essere compreso a riguardo è che le proposizioni di cui è costituita la geometria sono tali a prescindere da qualsivoglia considerazione che attenga il mondo reale. È cioè solo per un fatto di utilità pratica che cerchiamo un’interpretazione che ci consenta di associare ai simboli che costituiscono dette proposizioni degli oggetti concreti.

L’interpretazione in questo senso è qualcosa che si sviluppa sempre a posteriori e non ha né dovrebbe avere niente a che fare con il modo attraverso il quale si determina la verità o la falsità di una proposizione. A questo scopo dovrebbero essere impiegate soltanto le regole e gli assiomi del sistema formale all’interno del quale ci stiamo muovendo.

Per comprendere meglio questo aspetto è utile fare riferimento a due possibili interpretazioni della geometria.

La prima interpretazione è quella classica e intuitiva, all’interno della quale si fanno corrispondere ai simboli “punti” e “rette” proprio gli oggetti che compongono le figure che possiamo disegnare nello spazio. Facendo nostra questa interpretazione potremo considerare vere le due seguenti proposizioni:

Due punti definiti nello spazio individuano una retta.
Una retta può contenere tre punti.

Infatti nell’ambito della realtà indagata (costituito in questo caso dalle figure disegnabili nello spazio) si verifica effettivamente che due punti individuano una retta e una retta può contenere tre punti.
Proviamo ora a impiegare una diversa interpretazione, che associ il simbolo “punto” a singole persone della specie umana e il simbolo “retta” ad una coppia di persone sempre della specie umana.
Facendo nostra questa interpretazione potremo considerare vera la proposizione:

Due punti definiti nello spazio individuano una retta

e falsa la seguente:

Una retta può contenere tre punti.

Infatti se nel mondo reale accade sempre che due persone presenti nello spazio individuano una coppia di persone, non accade mai che una coppia di persone possa contenere tre persone.

È importante comprendere che sebbene le suddette interpretazioni siano definite in modo rigoroso e chiaro, non ci danno alcuna garanzia di essere corrette per l’intera geometria. Anzi, possiamo sicuramente affermare che la seconda non lo è, in quanto se adoperiamo gli assiomi e le regole deduttive della geometria arriviamo a classificare come vera e non come falsa la seguente proposizione:

Una retta può contenere tre punti.

Per quanto riguarda la prima interpretazione possiamo affermare che finora non si conosce alcuna proprietà delle figure geometriche disegnabili nello spazio che la geometria non sia stata in grado di costruire attraverso i suoi assiomi e le sue regole. In sostanza sembra proprio che tale interpretazione possa essere ritenuta corretta per l’intera geometria e non solo per le due proposizioni viste. O detto in maniera più precisa: sembra che l’utilità della geometria sia proprio quella di descrivere cosa accade nell’ambito delle figure disegnabili nello spazio.

Il discorso fin qui esposto risulta pregno di conseguenze se facciamo riferimento ai teoremi di Godel, che prendono il nome dal matematico che li ha sviluppati.

Il primo teorema di incompletezza di Godel afferma che i sistemi assiomatici formali (sufficientemente potenti) siano incompleti, ovvero che vi siano alcuni aspetti dell’ambito di realtà da essi indagato che non possono essere costruiti al loro interno.

Si tratta di una conclusione che sappiamo essere illecita, in quanto viene data a prescindere dall’ambito di realtà a cui tali sistemi assiomatici formali potrebbero essere associati. Detto in altre parole: poiché i simboli, gli assiomi e le regole con cui si sviluppa un sistema assiomatico formale non hanno alcun legame con il mondo esterno, è letteralmente impossibile sapere in anticipo se questo possa o meno risultare completo.

In pratica una proprietà quale la completezza che può essere desunta solo da un riscontro empirico, confrontando le proposizione espresse da un sistema assiomatico formale con gli oggetti e le proprietà di un dato ambito della realtà che viene associato loro tramite una precisa interpretazione.

Per comprendere quale sia l’errore contenuto in questo teorema, analizziamo più in dettaglio la dimostrazione che lo caratterizza.

Come prima cosa dobbiamo sapere che Godel ha espresso all’interno del sistema formale dell’intera aritmetica una proposizione particolare. Come seconda cosa dobbiamo sapere che lo stesso Godel ha fornito una chiave interpretativa che rendeva possibile attribuire a detta proposizione il seguente significato:

Non sono costruibile all’interno di questo sistema aritmetico.

Nell’ipotesi di considerare corretta l’interpretazione adottata da Godel e di voler determinare il valore della suddetta proposizione a partire dal significato che essa assume nel mondo concreto, ci accorgiamo di non poterla considerare falsa, perché altrimenti ci troveremmo ad assegnare ad una proposizione falsa il significato di essere costruibile all’interno del sistema aritmetico, e sappiamo che all’interno dei sistemi formali le proposizioni costruibili sono definite vere e non false.

Possiamo invece considerarla vera, in quanto non c’è alcun problema nell’interpretare una proposizione vera come non costruibile all’interno del sistema aritmetico: significa semplicemente che esiste una proprietà della realtà indagata che non può essere dimostrata all’interno di quel sistema, ovvero che esso è incompleto.

L’analisi compiuta da Godel sancisce l’incompletezza dell’aritmetica e può essere estesa a qualsiasi altro sistema formale potente come l’aritmetica, dal momento che anche al suo interno sarebbe stato possibile produrre una proposizione con il suddetto significato.

L’errore di questo teorema è appunto quello di aver assegnato il valore di verità o falsità ad una determinata proposizione basandosi sulla sua interpretazione, e non piuttosto cercando di costruirla all’interno del sistema assiomatico formale dell’aritmetica, sfruttandone gli assiomi e le regole.

Infatti benché il sistema interpretativo elaborato da Godel sia rigoroso nell’assegnare alla precedente proposizione il significato visto, potrebbe rivelarsi inadeguato nell’assegnare gli stessi significati alle altre proposizioni sviluppabili all’interno del sistema formale dell’aritmetica. Non dobbiamo dimenticare infatti che per considerare corretta una data interpretazione di un sistema assiomatico formale dobbiamo valutarla su tutto l’insieme delle proposizioni costruibili al suo interno.

Quello che possiamo effettivamente dire dell’interpretazione introdotta da Godel è che essa risulta sicuramente sbagliata perché conduce a considerare incompleti i sistemi formali assiomatici, indipendentemente dagli aspetti del mondo concreto che cercassimo di associare loro. E come abbiamo visto in precedenza la completezza è una proprietà che non può essere né attribuita né negata a priori ad un qualunque sistema assiomatico.

Il secondo teorema di incompletezza di Godel afferma che la coerenza dei sistemi assiomatici formali (sufficientemente potenti) non si possa desumere dal loro interno.

Si tratta in un certo senso di una conferma di ciò che già sapevamo dal momento che gli assiomi e le regole che costituiscono i sistemi assiomatici formali sono scelti senza dover rispettare tra loro alcun vincolo che possa garantire la coerenza, la quale può quindi essere desunta solo a posteriori.

Anche se questa analisi di Godel ha confermato quello che già sapevamo dei sistemi assiomatici formali, va comunque ritenuta scorretta, in quanto si appoggia alla conclusione del primo teorema, mutuandone gli errori.

Infine con il suo teorema di indecidibilità Godel afferma che i sistemi assiomatici formali (sufficientemente potenti) siano indecidibili. Si tratta però anche in questo caso di una conclusione che sappiamo essere illecita, in quanto gli assiomi e le regole che li costituiscono sono scelti senza aver un collegamento diretto con la nostra capacità di costruire delle proposizioni componendo liberamente i simboli a nostra disposizione.

In pratica la decidibilità di un sistema assiomatico formale non può essere desunta dal suo interno ma solo a posteriori, esprimendo tutte le sue proposizioni e confrontandole con tutte quelle esprimibili attraverso i suoi simboli.

Il fatto che gli scienziati degli ultimi secoli non abbiamo saputo affrontare nella maniera adeguata questa problematica, dimostra una volta di più come non si possa fare scienza in maniera seria ed efficace senza rapportarsi al contesto di fondo in cui ci si muove, ed esplorando tutte le implicazioni connesse ad ogni singola affermazione.

Per conoscere gli errori specifici commessi da Godel all’interno dei suoi teoremi, si può fare riferimento al mio libro: “I paradigmi della mente”.

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